粒子扩散方程
编辑
在粒子扩散的模型中，我们考虑的方程涉及
在大量粒子集体扩散的情况：粒子的体积浓度，记作c。或者
在单一粒子的情况：单一粒子对位置的概率密度函数，记作P。
不同情况下的方程：
c
t
=
D
Δ
c
,
{\displaystyle c_{t}=D\Delta c,\quad }
或者
P
t
=
D
Δ
P
.
{\displaystyle P_{t}=D\Delta P.\quad }
c与P都是位置与时间的函数。D是扩散系数，它控制扩散速度，通常以米/秒为单位。
如果扩散系数D依赖于浓度c（或第二种情况下的概率密度P），则我们得到非线性扩散方程。
单一粒子在粒子扩散方程下的随机轨迹是个布朗运动。
如果一个粒子在时间
t
=
0
{\displaystyle t=0}
时置于
R
→
=
0
→
{\displaystyle {\vec {R}}={\vec {0}}}
，则相应的概率密度函数具有以下形式：
P
(
R
→
,
t
)
=
G
(
R
→
,
t
)
=
1
(
4
π
D
t
)
3
/
2
e
−
R
→
2
4
D
t
{\displaystyle P({\vec {R}},t)=G({\vec {R}},t)={\frac {1}{(4\pi Dt)^{3/2}}}e^{-{\frac {{\vec {R}}^{2}}{4Dt}}}}
它与概率密度函数的各分量
R
x
{\displaystyle R_{x}}
、
R
y
{\displaystyle R_{y}}
和
R
z
{\displaystyle R_{z}}
的关系是：
P
(
R
→
,
t
)
=
1
(
4
π
D
t
)
3
/
2
e
−
R
x
2
+
R
y
2
+
R
z
2
4
D
t
=
P
(
R
x
,
t
)
P
(
R
y
,
t
)
P
(
R
z
,
t
)
{\displaystyle P({\vec {R}},t)={\frac {1}{(4\pi Dt)^{3/2}}}e^{-{\frac {R_{x}^{2}+R_{y}^{2}+R_{z}^{2}}{4Dt}}}=P(R_{x},t)P(R_{y},t)P(R_{z},t)}
随机变数
R
x
,
R
y
,
R
z
{\displaystyle R_{x},R_{y},R_{z}}
服从平均数为0、变异数为
2
D
t
{\displaystyle 2\,D\,t}
的正态分布。在三维的情形，随机矢量
R
→
{\displaystyle {\vec {R}}}
服从平均数为
0
→
{\displaystyle {\vec {0}}}
、变异数为
6
D
t
{\displaystyle 6\,D\,t}
的正态分布。
在t=0时，上述
P
(
R
→
,
t
)
{\displaystyle P({\vec {R}},t)}
的表示式带有奇点。对应于粒子处在原点之初始条件，其概率密度函数是在原点的狄拉克δ函数，记为
δ
(
R
→
)
{\displaystyle \delta ({\vec {R}})}
（三维的推广是
δ
(
R
→
)
=
δ
(
R
x
)
δ
(
R
y
)
δ
(
R
z
)
{\displaystyle \delta ({\vec {R}})=\delta (R_{x})\delta (R_{y})\delta (R_{z})}
）；扩散方程对此初始值的解也称作格林函数。
扩散方程的历史源流
编辑
粒子扩散方程首先由Adolf Fick于1855年导得。
以格林函数解扩散方程
编辑
格林函数是扩散方程在粒子位置已知时的解（数学家称之为扩散方程的基本解）。当粒子初始位置在原点
0
→
{\displaystyle {\vec {0}}}
时，相应的格林函数记作
G
(
R
→
,
t
)
{\displaystyle G({\vec {R}},t)}
（t>0）；根据扩散方程对平移的对称性，对一般的已知初始位置
R
→
0
{\displaystyle {\vec {R}}^{0}}
，相应的格林函数是
G
(
R
→
−
R
→
0
,
t
)
{\displaystyle G({\vec {R}}-{\vec {R}}^{0},t)}
。
对于一般的初始条件，扩散方程的解可以透过积分分解为一族格林函数的叠加。
举例来说，设t=0时有一大群粒子，根据浓度分布的初始值
c
(
R
→
,
0
)
{\displaystyle c({\vec {R}},0)}
分布于空间中。扩散方程的解将告诉我们浓度分布如何随时间演化。
跟任何（广义）函数一样，浓度分布的初始值可以透过积分表为狄拉克δ函数的叠加：
c
(
R
→
,
t
=
0
)
=
∫
c
(
R
→
0
,
t
=
0
)
δ
(
R
→
−
R
→
0
)
d
R
x
0
d
R
y
0
d
R
z
0
{\displaystyle c({\vec {R}},t=0)=\int c({\vec {R}}^{0},t=0)\delta ({\vec {R}}-{\vec {R}}^{0})dR_{x}^{0}\,dR_{y}^{0}\,dR_{z}^{0}}
扩散方程是线性的，因此在之后的任一时刻t，浓度分布变为：
c
(
R
→
,
t
)
=
∫
c
(
R
→
0
,
t
=
0
)
G
(
R
→
−
R
→
0
,
t
)
d
R
x
0
d
R
y
0
d
R
z
0
{\displaystyle c({\vec {R}},t)=\int c({\vec {R}}^{0},t=0)G({\vec {R}}-{\vec {R}}^{0},t)dR_{x}^{0}\,dR_{y}^{0}\,dR_{z}^{0}}
在粒子扩散的情形，我们可以将狄拉克δ函数对应的初始条件理解为粒子落在一个已知位置。一般而言，任何扩散过程的解都有这种表法，包括热传导或动量的扩散；后者关系到流体的黏性现象。
一维格林函数解列表
编辑
以下以简写BC代表边界条件，IC代表初始条件。
{
u
t
=
k
u
x
x
−
∞
<
x
<
∞
,
0
<
t
<
∞
u
(
x
,
0
)
=
g
(
x
)
I
C
{\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&-\infty u ( x , t ) = 1 4 π k t ∫ − ∞ ∞ exp ( − ( x − y ) 2 4 k t ) g ( y ) d y {\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)g(y)\,dy} { u t = k u x x 0 ≤ x < ∞ , 0 < t < ∞ u ( x , 0 ) = g ( x ) I C u ( 0 , t ) = 0 B C {\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&\,0\leq x<\infty ,\,0 u ( x , t ) = 1 4 π k t ∫ 0 ∞ ( exp ( − ( x − y ) 2 4 k t ) − exp ( − ( x + y ) 2 4 k t ) ) g ( y ) d y {\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{0}^{\infty }\left(\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)-\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4kt}}\right)\right)g(y)\,dy} { u t = k u x x 0 ≤ x < ∞ , 0 < t < ∞ u ( x , 0 ) = g ( x ) I C u x ( 0 , t ) = 0 B C {\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&\,0\leq x<\infty ,\,0 u ( x , t ) = 1 4 π k t ∫ 0 ∞ ( exp ( − ( x − y ) 2 4 k t ) + exp ( − ( x + y ) 2 4 k t ) ) g ( y ) d y {\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{0}^{\infty }\left(\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)+\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4kt}}\right)\right)g(y)\,dy} { u t = k u x x + f − ∞ < x < ∞ , 0 < t < ∞ u ( x , 0 ) = 0 I C {\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f&-\infty u ( x , t ) = ∫ 0 t ∫ − ∞ ∞ 1 4 π k ( t − s ) exp ( − ( x − y ) 2 4 k ( t − s ) ) f ( s ) d y d s {\displaystyle u(x,t)=\int _{0}^{t}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {4\pi k(t-s)}}}\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)f(s)\,dyds} { u t = k u x x + f ( x , t ) 0 ≤ x < ∞ , 0 < t < ∞ u ( x , 0 ) = 0 I C u ( 0 , t ) = 0 B C {\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f(x,t)&0\leq x<\infty ,\,0 u ( x , t ) = ∫ 0 t ∫ 0 ∞ 1 4 π k ( t − s ) ( exp ( − ( x − y ) 2 4 k ( t − s ) ) − exp ( − ( x + y ) 2 4 k ( t − s ) ) ) f ( y , s ) d y d s {\displaystyle u(x,t)=\int _{0}^{t}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {4\pi k(t-s)}}}\left(\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)-\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)\right)f(y,s)\,dyds} { u t = k u x x 0 ≤ x < ∞ , 0 < t < ∞ u ( x , 0 ) = 0 I C u ( 0 , t ) = h ( t ) B C {\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&0\leq x<\infty ,\,0 u ( x , t ) = ∫ 0 t x 4 π k ( t − s ) 3 exp ( − x 2 4 k ( t − s ) ) h ( s ) d s {\displaystyle u(x,t)=\int _{0}^{t}{\frac {x}{\sqrt {4\pi k(t-s)^{3}}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4k(t-s)}}\right)h(s)\,ds} （可能的问题：根据上解，u(0)=0） { u t = k u x x + f − ∞ < x < ∞ , 0 < t < ∞ u ( x , 0 ) = g ( x ) I C {\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f&-\infty u = w + v {\displaystyle \quad {u=w+v}} { v t = k v x x + f , w t = k w x x − ∞ < x < ∞ , 0 < t < ∞ v ( x , 0 ) = 0 , w ( x , 0 ) = g ( x ) I C {\displaystyle {\begin{cases}v_{t}=kv_{xx}+f,\,w_{t}=kw_{xx}\,&-\infty { u t = k u x x + f 0 ≤ x < ∞ , 0 < t < ∞ u ( x , 0 ) = g ( x ) I C u ( 0 , t ) = h ( t ) B C {\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f&0\leq x<\infty ,\,0 u = w + v + r {\displaystyle \quad {u=w+v+r}} { v t = k v x x + f , w t = k w x x , r t = k r x x 0 ≤ x < ∞ , 0 < t < ∞ v ( x , 0 ) = 0 , w ( x , 0 ) = g ( x ) , r ( x , 0 ) = 0 I C v ( 0 , t ) = 0 , w ( 0 , t ) = 0 , r ( 0 , t ) = h ( t ) B C {\displaystyle {\begin{cases}v_{t}=kv_{xx}+f,\,w_{t}=kw_{xx},\,r_{t}=kr_{xx}\,&0\leq x<\infty ,\,0